一(yī)般来说，设函(hán)数y=f(x)(x∈A)的值(zhí)域是C，若找得到一(yī)个函(hán)数(shù)g(y)在每一处(chù)g(y)都等于x，这(zhè)样的函(hán)数x= g(y)(y∈C)叫做(zuò)函数(shù)y=f(x)(x∈A)的(de)反函数(shù)，记(jì)作y=f-1(x) 。

　　反(fǎn)函数y=f-1(x)的(de)定义域、值域分(fēn)别(bié)是函数(shù)y=f(x)的值域(yù)、定(dìng)义域(yù)。

　　最具有代表(biǎo)性的反函数就是对数函数与(yǔ)指数函数。

　　函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象(xiàng)关于直线y=x对称；

　　函(hán)数(shù)及其(qí)反函数(shù)的图形关于直线y=x对称；

　　函数存在反函数的充要条(tiáo)件是，函数的定义域与值域是一一映射(shè)等。

　　反函数性质：函数f(x)与它的反函数(shù)f-1(x)图象关于直线y=x对称；

　　函(hán)数及其反函数(shù)的图(tú)形关(guān)于直线y=x对称；

　　函数存在反函数的充要条件是，函(hán)数的定义域(yù)与(yǔ)值域是一一映射的。

　　1、反函数(shù)的定义域是原函(hán)数的值(zhí)域，反函数的值(zhí)域是原函数的定义(yì)域。

　　2、互为反函数的两(liǎng)个(gè)函数的图像关于(yú)直线y=x对称。

　　3、原函数若是奇函数(shù)，则其反函数为奇函数。

　　4、若函数是单调函数，则一定有反函数，且反函数的单调性与原函(hán)数的一(yī)致。

　　5、原函数(shù)与反函(hán)数(shù)的(de)图像若有(yǒu)交点，则交(jiāo)点一(yī)定在直线y=x上或关于直线y=x对称出现(xiàn)。

反函数有哪些性质

　　性质：

　　（1）函数f(x)与它的反(fǎn)函数(shù)f-1(x)图象(xiàng)关(guān)于直线y=x对称(chēng)；

　　（2）函数存在反函数的(de)充要条(tiáo)件是(shì)，函数的定义域与值域是一(yī)一映射(shè)；

　　（3）一个函数与它(tā)的反函(hán)数(shù)在相应(yīng)区(qū)间上单调性(xìng)一致；

　　（4）大部分偶函数不存在反函数（当(dāng)函数(shù)y=f(x)， 定义域是{0} 且(qiě) f(x)=C （其(qí)中C是(shì)常数），则函(hán)数f(x)是偶(ǒu)函数且有反(fǎn)函数，其(qí)反函数的定(dìng)义(yì)域(yù)是{2023年石油会暴涨吗，今日油价格表C}，值域(yù)为{0} ）。

　　奇函数不(bù)一(yī)定存在反函数，被与y轴垂直的直线截(jié)时(shí)能过(guò)2个及以上点(diǎn)即没有(yǒu)反函(hán)数。

　　腔神若一个(gè)奇函数存在反函数，则(zé)它的反(fǎn)函数也是奇(qí)森圆穗函数。

　　（5）一段连续(xù)的函数的单调性在对应(yīng)区(qū)间(jiān)内具有一致性；

　　（6）严增（减）的函数一定有严(yán)格增(zēng)（减）的(de)反函数(shù)；

　　（7）反函数是相互的(de)且具有唯一性；

　　（8）定(dìng)义域(yù)、值域相反对应法则互(hù)逆（三反）；

　　（9）反函数的导数关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单(dān)调，可导，且f(y)≠0，那(nà)么(me)它(tā)的(de)反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导，且：

　　（10）y=x的反函数是(shì)它本身。

　　扩此卜(bo)展资料：

　　反函数(shù)定(dìng)义：

　　设函数y=f(x)的定义域(yù)是D，值(zhí)域是f(D)。

　　如果对(duì)于值域f(D)中的每一个y，在D中(zhōng)有且(qiě)只有一个x使得f(x)=y，则(zé)按此对应法则得到了一(yī)个定义在f(D)上的(de)函(hán)数。

　　并(bìng)把该函(hán)数称为函(hán)数y=f(x)的反函(hán)数，记为由该定(dìng)义可(kě)以很快(kuài)得出(chū)函(hán)数f的定义域D和值域f(D)恰好就是反函数(shù)f-1的值域和定义域，并且f-1的(de)反函数就是f，也就是说(shuō)，函数f和f-1互为反(fǎn)函(hán)数，即：

　　反函数与原(yuán)函数的复合(hé)函数(shù)等于x，即：

　　习惯上我们(men)用x来表示(shì)自变量，用y来表示因变量，于是函数(shù)y=f(x)的反函数(shù)通(tōng)常写成

　　 。

　　例如，函数(shù)  

　　的反(fǎn)函(hán)数(shù)是  。

　　相对(duì)于(yú)反(fǎn)函数y=f-1(x)来说，原来的函数y=f(x)称为直接函数。

　　反函数和直接函数(shù)的图像关(guān)于直线y=x对称。

　　这是因(yīn)为，如果设(shè)(a,b)是y=f(x)的图(tú)像上任意(yì)一点(diǎn)，即b=f(a)。

　　根据反函数(shù)的(de)定义，有a=f-1(b)，即点(b,a)在反函数y=f-1(x)的图像(xiàng)上(shàng)。

　　而点(a,b)和(b,a)关于(yú)直线y=x对称，由(yóu)(a,b)的任(rèn)意性可知f和f-1关于(yú)y=x对称。

　　于是我们可(kě)以知道(dào)，如果两(liǎng)个函数的图像关(guān)于y=x对称(chēng)，那么这两个(gè)函数互为反函数。

　　这也可以(yǐ)看做是反(fǎn)函数的一(yī)个几何定义。

　　在微积分(fēn)里，f (n)(x)是用来指f的n次微分的。

　　若一(yī)函数有反函数，此函数(shù)便(biàn)称为可逆的（invertible）。

　　参考资料：百度百(bǎi)科(kē)---反函数

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